Анатолий Иванович Гриценко родился 30 мая 1936 года в селе Шалаевка Роствоской области в семье учителя. Затем отец перевёз семью в посёлок Первомайский Краснодарского края, где будущий поэт окончил семь классов.
Затем поступает в Ростовское ремесленное училище, и оканчивает его в 1954 году. Поступает на работу в Волго-Донское печное пароходство рулевым теплохода.
Тогда же начинает писать первые стихи, в 1955 году их публикует многотиражное издательство "Волго-Дон".
Затем его призывают в ряды Советской Армии, и он проходит действительную службу в Заполярье на острове Новая Земля около ядерного полигона. После демобилизации в течение семи лет был формовщиком, затем слесарем-сборщиком на заводе "Ростсельмаш".
Затем переходит на журналистскую работу, сотрудничая сначала в армейской газете, а затем в редакции газеты "Комсомолец".
В 1975 году Гриценко поступает на Высшие литературные курсы при Литературном институте имени М.Горького, и оканчивает их в 1977 году. Участвует во Всесоюзном совещании молодых писателей в Москве (1969).
В 1975 году вступает в КПСС.
Публикует стихи в коллективных книгах Ростиздата и журналах "Дрн", "Дружба народов", "Селськая молодёжь", "Подъём", "Молодая гвардия", "Огонёк" и других, а в 1965 году выходит его первая книга стихов "Медовый месяц", в 1969 году в серии "Поэзия Дона" — небольшая книга "Стихи".
В 1973 году Гриценко принимают в Союз писателей СССР.
Затем он выпускает сборники стихов "Роса полей", "Желтобровое поле", "Над порогом моим", "Проталины" (1986), "Все от любви" (1986), "Эхо разлук" (1990), а также прозаическую книгу для детей "Сказка о Старом Адмиралтейском Якоре".
Автор стихотворных переводов с языков народов Северного Кавказа, с болгарского и якутского языков.
Долгое время был заведующим отделом поэзии журнала "Дон", с 1996 года — литературный редактор газеты "Крестьянин".
Жил и работал в Ростове-на-Дону.
Умер в 2007 году.