Борис Иванович Веремей родился 25 декабря 1935 года в посёлке Мишеронский Шатурского района Московской области.
Отец — Герой Советского Союза Иван Веремей.
Окончил десять классов школы и 1-й Московский городской аэроклуб.
В 1953 году Веремей был призван на службу в Советскую Армию.
В 1955 году он окончил авиационное училище лётчиков в Армавире, после чего служил в частях ПВО.
В 1961 году в звании капитана Веремей был уволен в запас.
В 1962 году он окончил школу лётчиков-испытателей, после чего находился на лётно-испытательной работе.
В 1962—1965 годах Веремей был лётчиком-испытателем Казанского авиационного завода, в 1965—2000 годах - ОКБ Туполева. Участвовал в испытании самолётов "Ту-16", "Ту-22", "Т2-124", "Ту-134", "Ту-144", "Ту-154", а также их различных модификаций.
18 декабря 1981 года Веремей первым поднял в небо новейший стратегический бомбардировщик "Ту-160", а затем принял участие в его испытаниях.
В 1983 году установил 12 авиационных рекордов скорости и грузоподъёмности в качестве второго пилота самолёта "Ту-144".
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 мюня 1984 года за "мужество и героизм, проявленные при освоении новой военной техники" лётчик-испытатель капитан запаса Борис Веремей был удостоен высокого звания Героя Советского СОюза.
В 1989 году на "Ту-160" Веремей установил 22 авиационных рекорда высоты, скорости и грузоподъёмности.
В 2000 году он ушёл с лётно-испытательской работы и стал инженером-методистом в ОАО "Туполев". Скончался 6 февраля 2002 года, похоронен на Троекуровском кладбище Москвы.