После окончания училища в 1973 году начал службу пилотом в авиационных частях ВВС Группы советских войск в Германии. За два года он стал командиром звена истребителей-бомбардировщиков.
В 1975 году командование написало рекомендательное письмо для поступления в Школу лётчиков-испытателей, которую он окончил в 1978 году.
В 1977 году Анатолий Квочур был уволен из рядов Вооруженных Сил СССР.
В 1981 году Анатолий Квочур окончил Московский авиационный институт.
С 1978 года по 1981 Анатолий Квочур работал лётчиком-испытателем на авиационном заводе в Комсомольске-на-Амуре, где проводил испытания серийных Су-17 и его модификаций.
В 1981 году Анатолий Квочур был переведён в ОКБ имени Микояна. В ОКБ он участвовал в испытаниях самолётов МиГ-29 и МиГ-31, испытаниях ракет классов "воздух-воздух", "воздух-поверхность", испытаниях палубного истребителя МиГ-29К, в том числе с испытаниями систем авианосца "Адмирал Кузнецов", а также в испытаниях новейших образцов самолётов МиГ.
В 1988 году на авиационном салоне в Фарнборо Анатолий Квочур впервые показал фигуру высшего пилотажа — "Колокол".
8 июня 1989 года на международном авиасалоне в Ле-Бурже (Франция) в процессе выполнения показательного полёта с элементами высшего пилотажа новейшего советского истребителя МиГ-29, произошёл помпаж двигателя. Лётчик-испытатель Анатолий Квочур успел катапультироваться с предельно малой высоты.
В 1991 году перешёл на работу в Лётно-исследовательский институт в качестве лётчика-испытателя и начальника лаборатории эргономики.
Указом Президента России Б. Ельцина от 17 ноября 1992 года за мужество и героизм, проявленные при испытании, доводке и освоении новых образцов авиационной техники ему присвоено ззвание Героя Российской Федерации.
В 1996 году он стал заместителем начальника института по оборонной тематике.
В 1992 году для выполнения исследовательских программ по проектированию кабин и органов управления маневренных самолётов, спутниковой радионавигации, дозаправки в воздухе, сверхдальним беспосадочным перелётам, сверхманёвренности и медицине он создал пилотажную группу "Лётчики-испытатели", которая в 1996 году была преобразована в Пилотажно-исследовательский центр. В марте 1995 года Анатолий Квочур выполнил сверхдальний перелёт на одноместном истребителе Су-27 в Австрию, а в июле и сентябре 1999 года — перелёты через Северный полюс по замкнутому маршруту.
15 января 1998 года награжден орденом "За заслуги перед Отечеством 3 степени — за заслуги перед государством, многолетний добросовестный труд и большой вклад в укрепление дружбы и сотрудничества между народами.
В 1999 году Анатолий Квочур окончил Академию Государственнйо службы при Президенте Российской Федерации.
Жил в городе Жуковский Московской области.
Умер 15 апреля 2024 года. Похоронен на Федеральном воинском мемориале в Мытищах
Подполковник.
Государственные награды:
Медаль "Золотая Звезда" Героя Российской Федерации.
орден "За заслуги перед Отечеством" 3-й степени (15.01.1998),
