Алексей Иванович Беспятов родился 20 июня 1920 года в станице Прочноокопская ныне Новокубанского района Краснодарского края в семье рабочего. Русский.
Получил среднее образование.
С 1937 по 1939 годы служил в Красной Армии
В 1939 году закончил Пензенское артиллерийское училище, а в 1940 году — заочно Армавирское педагогическое училище, после чего работал учителем.
В июле 1941 года - мобилизован в РККА.
В декабре 1941 года закончил курсы усовершенствования командного состава и был направлен в действующую армию.
В 1942 году вступил в ряды ВКП(б).
Командовал стрелковым взводом, стрелковым батальоном и стрелковым полком.
Командуя 935-м стрелковым полком подполковник Беспятов отличился в ходе боёв на территории Витебской области при прорыве обороны противника в районе посёлка городского типа Шумилино.
23 июня 1944 года полк под командованием Беспятова форсировал реку Западная Двина в районе деревни Шарипино Витебской области и захватил плацдарм, тем самым обеспечив переправу 306-й стрелковой дивизии.
В ходе Витебско-Оршанской операции подполковник Беспятов одним из первых вступил в Лепель, освобождённый к 28 июня 1944 года. В этом бою Беспятов был ранен, но остался в строю.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года "за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм" присвоено звание Героя Советского Союза.
С окончанием войны продолжил службу в армии и в 1968 году полковник Алексей Иванович Беспятов вышел в запас
Жил в Сочи и до ухода на пенсию работал на должности начальника туристической базы.
